terça-feira, 3 de janeiro de 2017

Potência: propriedade de potências

Para o cálculo de potências é importantíssimo, e necessário saber quais são suas propriedades. Para estuda-las, vou utilizar letras para representar os números, como por exemplo ab (a elevado a b) e a1 (a elevado a 1).
  • a0 = 1. Qualquer número elevado a 0 é igual a 1;
  • a1 = a. Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo;
  • a-n = 1/an;
  • Multiplicação de potências de mesa base: ab.ac = ab+c;
  • Divisão de potências de mesma base: ab:ac = ab – c;
  • (a/b)c = ac/bc;
  • (a.b)c = ac.bc.


Entendendo essas propriedades é possível realizar alguns cálculos como “23.22 + 81/32 – (2/5)2 + 12”.
  • 23.22 + 81/32 – (2/5)2 + 12 = 8.4 + 81/9 – 22/52 + 12 = 32 + 9 – 4/25 + 12 = 53 – 4/25 =

1325 _ _4_ = 1321.
  25        25       25

Por Professor Paulo Natanael

quarta-feira, 5 de outubro de 2016

Potenciação

Olá leitores!

Essa é mais uma postagem para vocês que buscam conhecimento nessa grande rede de computadores. E se você tem aquele(a) amigo(a) que está em busca de conhecimentos diversos ou que precisa estudar um pouco mais Matemática, Raciocínio Lógico etc., indique o blog Professor Paulo Natanael.

E agora vamos estudar potenciação.

Você já estudou ou ouviu falar de potências no estudo da Matemática. Possivelmente esteve diante de potências como “22”, “34” ou “52”. Também já deve ter visto equações do tipo “x3 = 27”, “x2 + 3 = 7” ou “x2 + 2x – 1 = 0”. Para muita gente equações desse tipo são pesadelos estudantis. Outros tem enorme dificuldades em desenvolvê-las.

Para iniciar o estudo de cálculos que envolvam potências ou propriedades de potências, é importante saber o que é uma potência e como calculá-la.

Uma potência é formada por um número que, elevado a um certo valor (chamado de expoente), é multiplicado por ele mesmo tantas vezes quanto determina o número do seu expoente. Por exemplo: 32 (lê-se “três elevado ao quadrado”), onde 3 é a base e 2 o expoente.

  • 32 = 9, pois 32 = 3.3 = 9. Observe que o número 3 aparece duas vezes na multiplicação, pois o expoente é 2.
  • 23 = 8, pois 23 = 2.2.2 = 8.
  • 52 = 25, pois 52 = 5.5 = 25.


Obs.: A potência 32 pode ser lida ou falada como “três elevado ao quadrado”, “três elevado a dois” ou “três elevado à segunda potência”; e a potência 23 pode ser lida ou falada como “dois elevado ao cubo”, “dois elevado a três” ou “dois elevado a terceira potência”. Nos demais casos, como 75, por exemplo, podemos ler ou falar “sete elevado a cinco” ou “sete elevado à quinta potência”.

A partir do que foi lido acima, já é possível realizar alguns cálculos como “23 + 32”, “53 – 34 – 2” e “72 + 32 – 25 – 250 + 2”.

Obs.: Qualquer número elevado a 0 terá seu resultado igual a 1. Por exemplo, 50 = 1.

Vamos aos cálculos!

  • 23 + 32 = 8 + 9 = 17;
  • 53 – 34 – 2 = 125 – 81 – 2 = 42;
  • 72 + 32 – 25 – 250 + 8 = 49 + 9 – 32 – 1 + 8 = 33.


Para seguir este estudo é importante estudar o conteúdo de propriedades de potências.

Por Professor Paulo Natanael

quinta-feira, 14 de julho de 2016

Porcentagem

Você já deve estar acostumado com certos tipos de números como 25%, 18,5%, 100%... Já os leu em jornais, revistas, páginas na internet etc. Esses números, escritos em forma de porcentagem nos dão a noção de medida, proporção, variação, entre outros. Os percentuais são de grande importância econômica, social e estatística; por meio deles conseguimos analisar certas variáveis ou situações que, de outra maneira (usando números que não estão em forma de porcentagem), seria de difícil leitura ou interpretação.

Aprender porcentagem é essencial para diversas áreas de conhecimento, estudo e formação.

Para os exemplos de cálculos com porcentagem abaixo, usarei a regra de três.

Cálculos com porcentagem: usando a regra de três

1. Quanto é 25% de 100?

Este cálculo é bem simples, basta utilizar a regra de três ou dividir 100 por 4, pois 25% é a quarta parte de 100%.

  nº        %
100      100
  x         25

100x = 25.100 (multiplica-se as diagonais: 100 vezes x e 100 vezes 25)
100x = 2500
x = 2500
        100
x = 25

2. Quanto é 25% de 1250?

O esquema é o mesmo do cálculo anterior.

  nº         %
1250    100
   x        25

100x = 25.1250 (multiplica-se as diagonais: 100 vezes x e 1250 vezes 25)
100x = 31250
x = 31250
        100
x = 312,5

3. Marcos obteve desconto de 12% na compra de uma TV cujo valor inicial era R$ 2580,00. Quanto Marcos pagou por esta TV?

Dentre as formas de fazer este cálculo, você pode fazê-lo

·   descobrindo o valor referente a 12% de R$ 2580,00 e subtrair o mesmo do referido valor. Por exemplo:

   nº       %                                         
2580    100
    x       12

100x = 2580.12
100x = 30960
x = 30960
         100
x = 309,60

R$ 2580,00 – R$ 309,60 = R$ 2270,40

R: Marcos pagou R$ 2270,40.

·      descobrindo o valor referente a 88% (100% - 12%) de R$ 2580,00. Por exemplo:

  nº        %                                         
2580    100
   x        88

100x = 2580.88
100x = 227040
x = 227040
          100
x = 2270,40

R: Marcos pagou R$ 2270,40.

Por Professor Paulo Natanael

sábado, 21 de maio de 2016

Fração: operações com frações

Para realizar operações (soma, subtração, multiplicação e divisão) de frações é necessário, muitas vezes, o aprendizado do m.m.c. (Mínimo Múltiplo Comum).

1. Soma e subtração de frações:

a. Com o mesmo denominador: repete o denominador e calcula apenas os numeradores.

Ex.: _3_ + _4_ – _1_  =  3 + 4 – 1  =  _6_    <-- numerador(es)
          5        5         5               5               5      <-- denominador(es)

b. Com denominadores diferentes: deve-se chegar a um denominador comum e somar ou subtrair os numeradores, ou seja, fazer o m.m.c. dos denominadores e realizar as devidas operações, conforme exemplo abaixo.

Ex.: _3_ + _4_ _ _1_    <-- numeradores
          4        5         6      <-- denominadores

m.m.c.
4, 5, 6   2
2, 5, 3   2
1, 5, 3   3                                O m.m.c. de 4, 5 e 6 é 60.
1, 5, 1   5__________
1, 1, 1   2x2x3x5 = 60

Após calcular o m.m.c., cada denominador deverá ser substituído pelo valor encontrado. Os novos numeradores serão o resultado da divisão do novo denominador pelo denominador correspondente, que deverá ser multiplicado pelo numerador anterior, conforme calculo abaixo.

15/3_ + 12/4_ _ 10/1_  =      Esquema de cálculo: (60 : 4) x 3 = 45; (60 : 5) x 4 = 48; (60 : 6) x 1 = 10.
     4            5          6
= _45_ + _48_ _ _10_  =  45 + 48 – 10 = _83_
     60         60         60            60               60
(Agora que se chegou a um denominador comum (60), deve-se calcular como uma fração em quem os termos tem o mesmo denominador (seção a)).

Por Professor Paulo Natanael

M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum)

O cálculo do m.m.c. é utilizado em diversas resoluções de problemas matemáticos, como o cálculo de frações com denominadores diferentes, por exemplo. Encontrar o m.m.c. de 4, 5 e 6 é encontrar o menor número possível que seja múltiplo destes três números.

A forma de cálculo é simples, e deve ser feita dividindo tais números por números primos (2, 3, 5, 7, ...), começando do menor para o maior, conforme exemplo abaixo:

Ex.: m.m.c.
        4, 5, 6   2
        2, 5, 3   2    Números primos
        1, 5, 3   3                        
        1, 5, 1   5__________
        1, 1, 1   2x2x3x5 = 60

O m.m.c. de 4, 5 e 6 é 60, ou seja, 60 é o menor número possível que é múltiplo tanto do número 4, quanto dos números 5 e 6.

Por Professor Paulo Natanael

quarta-feira, 18 de maio de 2016

Fração: frações aritméticas e algébricas

As frações estão presentes em diversos cálculos matemáticos (consequentemente na Matemática Aplicada). A resolução de problemas que envolvem frações é facilitada quando conhecidas as regras básicas ou a lógica que rege as mesmas.
Uma fração é uma divisão ou uma razão. Por exemplo, 4 = 4 : 2 = 2.
      2
Obs.: 4 ou 4/3 deve ser lido ou pronunciado como “quatro sobre três” e, A/B, “A sobre B” ou
          3
“razão de A para B”.

As frações podem aparecer de duas formas: aritmética e algébrica.

Exemplos de frações aritméticas:


    a. 3/5;
    b.  – 3/5;
        c. 3 + 2 _ 1.
        5    3    4

Exemplos de frações algébricas:

      a. 3x ou 3x/5;
         5
        b. _ 3x ou – 3x/5;
            5
        c. 3x + 2x _ 1 = 3.
         5      3     4    4

Por Professor Paulo Natanael